Lipschitz连续

定义(一阶导数有界)

任取\(x_1\)和\(x_2\) ，存在常数L： $$ || f(x_1) - f(x_2) || \le L||x_1 - x_2||$$

导数连续（光滑）、Lipschitz连续（导数有界）、一致连续、连续的关系

总体来说：导数连续（光滑） > Lipschitz连续（导数有界）>一致连续 》 连续

举例

• 导数连续（光滑）：\(y=x^2\)
• Lipschitz连续（导数有界）:\(y = |x|\)，但是\(y=x^2\)本身不是Lipschitz连续，只有对定义域有规定才是Lipschitz连续
• 一致连续：https://www.zhihu.com/question/32201415
• 连续：只要每一个点的极限都是该点，那么函数就是连续的

性质

• 闭区间上的连续函数，此时连续性和一致连续性是等价的；
• Lipschitz连续则一定 一致连续（根据中值定理可以证明）